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行列を用いた重回帰分析(2016 記述問2)その②パラメータの計算

前回までの内容umejiro330.hatenablog.com
行列を用いた重回帰分析を行う際に、正規方程式を立てるというところまで行いました。
今回は、正規方程式を立てた後、行列計算をしてパラメータを求めるところまで行いたいと思います。

解法手順
(2)行列計算
まず正規方程式
\begin{equation}
β=\mathrm{(Z'Z)}^{-1}Z'Y
\end{equation}
の各パラメータを計算していきます。

 {Z'Z}=\left(
 \begin{array}{cc}
      1 & 1&1&1&1 \\
      -2&-1&0&1&2\\
    \end{array} \right)\left(
 \begin{array}{cc}
      1 & -2  \\
      1 & -1  \\
      1& 0 \\
      1&1\\
      1&2 \\ 
    \end{array} \right)
=\left(
 \begin{array}{cc}
5&10 \\
0&10 \\
 \end{array} \right)
また、
\begin{equation}
{(Z'Z)}^{-1}
\end{equation}
については2×2の逆行列計算で有名な公式を用いて
 {(Z'Z)}^{-1}
=1/50\left(
 \begin{array}{cc}
      5&10 \\
      0&10\\
    \end{array} \right)=
\left(
 \begin{array}{cc}
      0.2&0 \\
      0&0.1\\
    \end{array} \right)
と計算します。
これより
\begin{equation}
β={(Z'Z)}^{-1}ZY
\end{equation}
は、
 β=\left(
 \begin{array}{cc}
      0.2&0 \\
      0&0.1\\
    \end{array} \right)
\left(
 \begin{array}{cc}
      1&1&1&1&1 \\
      -2&-1&0&1&2\\
    \end{array} \right)
\left(
 \begin{array}{c}
      7.7\\
      6.6\\
      7.0\\
      7.2\\
      8.0\\
    \end{array} \right)
=\left(
 \begin{array}{cc}
7.3\\
0.12\\
 \end{array} \right)
と無事に求まりました。

今回はこのように行列計算を行いましたが、統計ソフトのRでも計算してみましょう。

y<-c(7.7,6.6,7.0,7.2,8.0)
x<-c(10,15,20,25,30)
z<-0.2*x-4
z
a<-as.data.frame(cbind(y,z))
LM<-lm(y~z,data=a)
summary(LM)

f:id:umejiro330:20180327041710p:plain
パラメータは計算できていました。(モデルが正しいかは別として)
行列計算だと大変手間取るのに、簡単に計算できてしまう統計ソフトはやはり便利だと感じる次第です。